Filtre Butterworth: Filtre Butterworth passe-bas du premier et du second ordre

Les filtres électriques ont de nombreuses applications et sont largement utilisés dans de nombreux circuits de traitement de signaux. Il est utilisé pour choisir ou éliminer des signaux de fréquence sélectionnée dans un spectre complet d'une entrée donnée. Ainsi, le filtre est utilisé pour laisser passer les signaux de fréquence choisie ou éliminer les signaux de fréquence choisie qui le traversent.

À l'heure actuelle, il existe de nombreux types de filtres disponibles et ils se différencient de plusieurs manières. Et nous avons couvert de nombreux filtres dans les tutoriels précédents, mais la différenciation la plus populaire est basée sur,

Analogique ou numérique
Actif ou passif
Audio ou radiofréquence
Sélection de fréquence

Filtres analogiques ou numériques

Nous savons que les signaux générés par l'environnement sont de nature analogique, tandis que les signaux traités dans les circuits numériques sont de nature numérique. Nous devons utiliser des filtres correspondants pour les signaux analogiques et numériques pour obtenir le résultat souhaité. Nous devons donc utiliser des filtres analogiques lors du traitement des signaux analogiques et utiliser des filtres numériques lors du traitement des signaux numériques.

Filtres actifs ou passifs

Les filtres sont également divisés en fonction des composants utilisés lors de la conception des filtres. Si la conception du filtre est entièrement basée sur des composants passifs (comme la résistance, le condensateur et l'inductance), le filtre est appelé filtre passif. D'un autre côté, si nous utilisons un composant actif (amplificateur opérationnel, source de tension, source de courant) lors de la conception d'un circuit, le filtre est appelé filtre actif.

Plus généralement, un filtre actif est préféré au filtre passif car ils présentent de nombreux avantages. Quelques-uns de ces avantages sont mentionnés ci-dessous:

Pas de problème de chargement: nous savons que dans un circuit actif, nous utilisons un ampli-op qui a une impédance d'entrée très élevée et une impédance de sortie faible. Dans ce cas, lorsque nous connectons un filtre actif à un circuit, le courant consommé par l'ampli-op sera très négligeable car il a une impédance d'entrée très élevée et ainsi le circuit ne subit aucune charge lorsque le filtre est connecté.
Flexibilité de réglage du gain: dans les filtres passifs, l'amplification du gain ou du signal n'est pas possible car il n'y aura pas de composants spécifiques pour effectuer une telle tâche. D'autre part, dans un filtre actif, nous avons un ampli opérationnel qui peut fournir un gain élevé ou une amplification du signal aux signaux d'entrée.
Flexibilité de réglage de la fréquence: les filtres actifs ont une plus grande flexibilité lors du réglage de la fréquence de coupure par rapport aux filtres passifs.

Filtres basés sur l'audio ou la radiofréquence

Les composants utilisés dans la conception des filtres changent en fonction de l'application du filtre ou de l'endroit où la configuration est utilisée. Par exemple, les filtres RC sont utilisés pour les applications audio ou basse fréquence, tandis que les filtres LC sont utilisés pour les applications radio ou haute fréquence.

Filtres basés sur la sélection de fréquence

Les filtres sont également divisés en fonction des signaux passés à travers le filtre

Filtre passe bas:

Tous les signaux au-dessus des fréquences sélectionnées sont atténués. Ils sont de deux types: filtre passe-bas actif et filtre passe-bas passif. La réponse en fréquence du filtre passe-bas est indiquée ci-dessous. Ici, le graphique en pointillés est le graphique de filtre passe-bas idéal et un graphique propre est la réponse réelle d'un circuit pratique. Cela s'est produit parce qu'un réseau linéaire ne peut pas produire un signal discontinu. Comme le montre la figure, une fois que les signaux atteignent la fréquence de coupure fH, ils subissent une atténuation et après une certaine fréquence plus élevée, les signaux donnés à l'entrée sont complètement bloqués.

Filtre passe-haut:

Tous les signaux au-dessus des fréquences sélectionnées apparaissent à la sortie et un signal inférieur à cette fréquence est bloqué. Ils sont de deux types: filtre passe-haut actif et filtre passe-haut passif. La réponse en fréquence d'un filtre passe-haut est indiquée ci-dessous. Ici, un graphique en pointillés est le graphique de filtre passe-haut idéal et un graphique propre est la réponse réelle d'un circuit pratique. Cela s'est produit parce qu'un réseau linéaire ne peut pas produire un signal discontinu. Comme le montre la figure jusqu'à ce que les signaux aient une fréquence supérieure à la fréquence de coupure fL, ils subissent une atténuation.

Filtre passe-bande:

Dans ce filtre, seuls les signaux de la gamme de fréquences sélectionnée sont autorisés à apparaître à la sortie, tandis que les signaux de toute autre fréquence sont bloqués. La réponse en fréquence du filtre passe-bande est indiquée ci-dessous. Ici, le graphique en pointillés est le graphique de filtre passe-bande idéal et un graphique propre est la réponse réelle d'un circuit pratique. Comme le montre la figure, les signaux sur la gamme de fréquences de fL à fH peuvent passer à travers le filtre tandis que les signaux d'une autre fréquence subissent une atténuation. En savoir plus sur le filtre passe-bande ici.

Filtre de rejet de bande:

La fonction de filtre de rejet de bande est exactement l'opposé du filtre passe-bande. Tous les signaux de fréquence ayant une valeur de fréquence dans la plage de bande sélectionnée fournie à l'entrée sont bloqués par le filtre tandis que les signaux de toute autre fréquence sont autorisés à apparaître à la sortie.

Filtre passe-tout:

Les signaux de n'importe quelle fréquence sont autorisés à passer à travers ce filtre, sauf s'ils subissent un décalage de phase.

En fonction de l'application et du coût, le concepteur peut choisir le filtre approprié parmi différents types.

Mais ici, vous pouvez voir sur les graphiques de sortie que les résultats souhaités et réels ne sont pas exactement les mêmes. Bien que cette erreur soit autorisée dans de nombreuses applications, nous avons parfois besoin d'un filtre plus précis dont le graphique de sortie tend davantage vers le filtre idéal. Cette réponse presque idéale peut être obtenue en utilisant des techniques de conception spéciales, des composants de précision et des amplificateurs opérationnels à grande vitesse.

Butterworth, Caur et Chebyshev font partie des filtres les plus couramment utilisés qui peuvent fournir une courbe de réponse presque idéale. En eux, nous discuterons du filtre Butterworth ici car c'est le plus populaire des trois.

Les principales caractéristiques du filtre Butterworth sont:

Il s'agit d'un filtre basé sur RC (résistance, condensateur) et amplificateur opérationnel (amplificateur opérationnel)
C'est un filtre actif donc le gain peut être ajusté si nécessaire
La principale caractéristique de Butterworth est qu'il a une bande passante plate et une bande d'arrêt plate. C'est la raison pour laquelle il est généralement appelé «filtre plat plat».

Parlons maintenant du modèle de circuit du filtre passe-bas Butterworth pour une meilleure compréhension.

Filtre Butterworth passe-bas du premier ordre

La figure montre le modèle de circuit du filtre passe-bas passe-bas du premier ordre.

Dans le circuit, nous avons:

Tension «Vin» en tant que signal de tension d'entrée qui est de nature analogique.
La tension «Vo» est la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel.
Les résistances «RF» et «R1» sont les résistances de rétroaction négative de l'amplificateur opérationnel.
Il y a un seul réseau RC (marqué dans le carré rouge) présent dans le circuit, le filtre est donc un filtre passe-bas du premier ordre
«RL» est la résistance de charge connectée à la sortie de l'ampli-op.

Si nous utilisons la règle du diviseur de tension au point `` V1 '', nous pouvons obtenir la tension aux bornes du condensateur comme, V ₁ = V _en ici -jXc = 1 / 2ᴫfc

Après substitution cette équation, nous aurons quelque chose comme ci-dessous

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

Maintenant, l'ampli opérationnel ici utilisé dans la configuration de rétroaction négative et dans un tel cas, l'équation de tension de sortie est donnée comme

V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

Il s'agit d'une formule standard et vous pouvez consulter les circuits des amplificateurs opérationnels pour plus de détails.

Si nous soumettons l'équation V1 dans Vo, nous aurons, V0 = (1 + R _F / R ₁)

Après avoir réécrit cette équation, nous pouvons avoir, V ₀ / V _dans = A _F / (1 + j (f / f _L))

Dans cette équation,

V ₀ / V _in = gain du filtre en fonction de la fréquence
AF = (1 + R _F / R ₁) = gain de bande passante du filtre
f = fréquence du signal d'entrée
f _L = 1 / 2ᴫRC = fréquence de coupure du filtre. Nous pouvons utiliser cette équation pour choisir les valeurs de résistance et de condensateur appropriées pour sélectionner la fréquence de coupure du circuit.

Si nous convertissons l'équation ci-dessus en une forme polaire, nous aurons,

Nous pouvons utiliser cette équation pour observer le changement de l'amplitude du gain avec le changement de la fréquence du signal d'entrée.

Cas 1: f < L . Considérons donc que la fréquence d'entrée est très inférieure à la fréquence de coupure du filtre alors,

Ainsi, lorsque la fréquence d'entrée est très inférieure à la fréquence de coupure du filtre, l'amplitude du gain est approximativement égale au gain de boucle de l'ampli opérationnel.

Cas 2: f = f _L. Si la fréquence d'entrée est égale à la fréquence de coupure du filtre, alors,

Ainsi, lorsque la fréquence d'entrée est égale à la fréquence de coupure du filtre, l'amplitude du gain est de 0,707 fois le gain de boucle de l'ampli opérationnel.

Case3: f> f _L. Si la fréquence d'entrée est supérieure à la fréquence de coupure du filtre, alors,

Comme vous pouvez le voir sur le motif, le gain du filtre sera le même que celui de l'ampli-op jusqu'à ce que la fréquence du signal d'entrée soit inférieure à la fréquence de coupure. Mais une fois que la fréquence du signal d'entrée atteint la fréquence de coupure, le gain diminue légèrement comme dans le cas deux. Et à mesure que la fréquence du signal d'entrée augmente encore plus, le gain diminue progressivement jusqu'à ce qu'il atteigne zéro. Ainsi, le filtre de Butterworth passe-bas permet au signal d'entrée d'apparaître en sortie jusqu'à ce que la fréquence du signal d'entrée soit inférieure à la fréquence de coupure.

Si nous avons dessiné le graphique de réponse en fréquence pour le circuit ci-dessus, nous aurons,

Comme le montre le graphique, le gain sera linéaire jusqu'à ce que la fréquence du signal d'entrée croise la valeur de la fréquence de coupure et une fois que cela se produit, le gain diminue considérablement, de même que la valeur de la tension de sortie.

Filtre passe-bas Butterworth de second ordre

La figure montre le modèle de circuit du filtre passe-bas Butterworth de 2e ordre.

Dans le circuit, nous avons:

Tension «Vin» en tant que signal de tension d'entrée qui est de nature analogique.
La tension «Vo» est la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel.
Les résistances «RF» et «R1» sont les résistances de rétroaction négative de l'amplificateur opérationnel.
Il y a un double réseau RC (marqué dans un carré rouge) présent dans le circuit, le filtre est donc un filtre passe-bas du second ordre.
«RL» est la résistance de charge connectée à la sortie de l'ampli-op.

Dérivation du filtre Butterworth passe-bas du deuxième ordre

Les filtres de second ordre sont importants car les filtres d'ordre supérieur sont conçus en les utilisant. Le gain du filtre du second ordre est réglé par R1 et RF, tandis que la fréquence de coupure f _H est déterminée par les valeurs R ₂, R ₃, C ₂ et C ₃. La dérivation de la fréquence de coupure est donnée comme suit, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

L'équation de gain de tension pour ce circuit peut également être trouvée de la même manière que précédemment et cette équation est donnée ci-dessous,

Dans cette équation,

V ₀ / V _in = gain du filtre en fonction de la fréquence
A _F = (1 + R _F / R ₁) gain de bande passante du filtre
f = fréquence du signal d'entrée
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = fréquence de coupure du filtre. Nous pouvons utiliser cette équation pour choisir les valeurs de résistance et de condensateur appropriées pour sélectionner la fréquence de coupure du circuit. De plus, si nous choisissons la même résistance et le même condensateur dans le réseau RC, l'équation devient,

Nous pouvons l'équation de gain de tension pour observer le changement de l'amplitude du gain avec le changement correspondant de la fréquence du signal d'entrée.

Cas 1: f < H . Considérons donc que la fréquence d'entrée est très inférieure à la fréquence de coupure du filtre alors,

Ainsi, lorsque la fréquence d'entrée est très inférieure à la fréquence de coupure du filtre, l'amplitude du gain est approximativement égale au gain de boucle de l'ampli opérationnel.

Cas 2: f = f _H. Si la fréquence d'entrée est égale à la fréquence de coupure du filtre, alors,

Ainsi, lorsque la fréquence d'entrée est égale à la fréquence de coupure du filtre, l'amplitude du gain est de 0,707 fois le gain de boucle de l'ampli opérationnel.

Case3: f> f _H. Si la fréquence d'entrée est vraiment supérieure à la fréquence de coupure du filtre, alors,

Semblable au filtre de premier ordre, le gain du filtre sera le même que celui de l'amplificateur opérationnel jusqu'à ce que la fréquence du signal d'entrée soit inférieure à la fréquence de coupure. Mais une fois que la fréquence du signal d'entrée atteint la fréquence de coupure, le gain diminue légèrement comme dans le cas deux. Et à mesure que la fréquence du signal d'entrée augmente encore plus, le gain diminue progressivement jusqu'à ce qu'il atteigne zéro. Ainsi, le filtre de Butterworth passe-bas permet au signal d'entrée d'apparaître en sortie jusqu'à ce que la fréquence du signal d'entrée soit inférieure à la fréquence de coupure.

Si nous dessinons le graphique de réponse en fréquence pour le circuit ci-dessus, nous aurons,

Maintenant, vous vous demandez peut-être quelle est la différence entre le filtre du premier ordre et le filtre du second ordre ? La réponse est dans le graphique, si vous observez attentivement, vous pouvez voir après que la fréquence du signal d'entrée a franchi la fréquence de coupure, le graphique subit une forte baisse et cette baisse est plus apparente dans le second ordre par rapport au premier ordre. Avec cette forte inclinaison, le filtre Butterworth de second ordre sera plus incliné vers le graphe de filtre idéal par rapport à un filtre Butterworth d'ordre unique.

C'est la même chose pour le filtre passe-bas Butterworth de troisième ordre, le filtre passe-bas Butterworth de quatrième ordre, etc. Plus l'ordre du filtre est élevé, plus le graphique de gain se penche vers un graphique de filtre idéal. Si nous dessinons le graphique de gain pour les filtres Butterworth d'ordre supérieur, nous aurons quelque chose comme ceci,

Dans le graphique, la courbe verte représente la courbe de filtre idéale et vous pouvez voir que l'ordre du filtre Butterworth augmente, son graphique de gain se penche davantage vers la courbe idéale. Donc, l'ordre du filtre Butterworth choisi est élevé, plus la courbe de gain sera idéale. Cela étant dit, vous ne pouvez pas choisir facilement un filtre d'ordre supérieur car la précision du filtre diminue avec une augmentation de l'ordre. Il est donc préférable de choisir l'ordre d'un filtre tout en gardant un œil sur la précision requise.

Dérivation de filtre Butterworth passe-bas de second ordre -Aliter

Après la publication de l'article, nous avons reçu un courrier de Keith Vogel, qui est un ingénieur électricien à la retraite. Il avait remarqué une erreur dans la large publicité description d'un 2 ^ème filtre passe-bas d'ordre et a offert son explication pour corriger ce qui est la suivante.

Alors laissez-moi aussi bien comprendre:

Et puis allez dire que la fréquence de coupure -6db est décrite par l'équation:

f _c = 1 / (

)

Cependant, ce n'est tout simplement pas vrai! Faisons-moi croire. Faisons un circuit où R1 = R2 = 160 et C1 = C2 = 100nF (0,1uF). Compte tenu de l'équation, nous devrions avoir une fréquence de -6db de:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9.947kHz

Allons-y, simulons le circuit et voyons où se trouve le point -6db:

Oh, il simule à 6,33 kHz PAS 9,947 kHz; mais la simulation n'est PAS FAUX!

Pour votre information, j'ai utilisé -6.0206db au lieu de -6db car 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 est un nombre un peu plus proche que -6, et pour obtenir une fréquence simulée plus précise à nos équations, je voulais utiliser quelque chose d'un peu plus proche que juste -6db. Si je voulais vraiment atteindre la fréquence définie par l'équation, j'aurais besoin de tamponner entre le 1 ^er et le 2 ^e étage du filtre. Un circuit plus précis à notre équation serait:

Et ici, nous voyons que notre point -6,0206db simule à 9,945 kHz, beaucoup plus proche de notre 9,947 kHz calculé. J'espère que vous me croyez qu'il y a une erreur! Voyons maintenant comment l'erreur s'est produite et pourquoi il s'agit simplement d'une mauvaise ingénierie.

La plupart des descriptions commenceront par un 1 ^er filtre passe - bas de commande, avec l'impédance comme suit.

Et vous obtenez une fonction de transfert simple de:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

Ensuite, ils disent que si vous en mettez simplement 2 ensemble pour créer un filtre de ^deuxième ordre, vous obtenez:

H (s) = H ₁ (s) * H ₂ (s).

Où H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Ce qui, une fois calculé, donnera l'équation fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Voici l'erreur, la réponse de H ₁ (s) n'est PAS indépendante de H ₂ (s) dans le circuit, vous ne pouvez pas dire H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1).

L'impédance de H ₂ (s) affecte la réponse de H ₁ (s). Et donc pourquoi ce circuit fonctionne, car l'ampli-op isole H ₂ (s) de H ₁ (s)!

Alors maintenant, je vais analyser le circuit suivant. Considérez notre circuit d'origine:

Pour simplifier, je vais faire R1 = R2 et C1 = C2, sinon, les maths s'impliquent vraiment. Mais nous devrions être en mesure de dériver la fonction de transfert réelle et de la comparer à nos simulations pour validation lorsque nous avons terminé.

Si nous disons, Z ₁ = 1 / sC en parallèle avec (R + 1 / sC), nous pouvons redessiner le circuit comme:

On sait que V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁); Où Z ₁ peut être une impédance complexe. Et si nous revenons à notre circuit d'origine, nous pouvons voir Z ₁ = 1 / sC en parallèle avec (R + 1 / sC)

Nous pouvons également voir que Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1), qui est H ₂ (s). Mais H ₁ (s) est beaucoup plus complexe, c'est Z ₁ / (R + Z ₁) où Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); et n'est PAS 1 / (sRC + 1)!

Alors maintenant, passons en revue les mathématiques de notre circuit; pour le cas particulier de R1 = R2 et C1 = C2.

Nous avons:

V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

et enfin

Vo / V _dans = * = * = * = * = *

Ici, nous pouvons voir que:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3sRC + 1)…

pas 1 / (sRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Et..

Vo / V _dans = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

Nous savons que le point -6db est (

/ 2) ² = 0,5

Et nous savons que lorsque l'amplitude de notre fonction de transfert est à 0,5, nous sommes à la fréquence -6 dB.

Alors résolvons pour cela:

-Vo / V _dans - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5

Soit s = jꙍ, on a:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

Pour trouver la grandeur, prenez la racine carrée du carré des termes réels et imaginaires.

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

mise au carré des deux côtés:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

Expansion:

1 - 2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

Soit x = (ꙍRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

Utilisation de l'équation quadratique pour résoudre x