- 1. Loi de Gauss de l'électricité
- 2. Loi de Gauss du magnétisme
- 3. Loi d'induction de Faraday
- 4. Loi d'Ampère
Les équations de Maxwell sont les fondements de la théorie électromagnétique, qui constitue un ensemble de quatre équations reliant les champs électrique et magnétique. Au lieu d'énumérer la représentation mathématique des équations de Maxwell, nous nous concentrerons sur la signification réelle de ces équations dans cet article. La première et la deuxième équation de Maxwell traitent respectivement des champs électriques statiques et des champs magnétiques statiques. Les troisième et quatrième équations de Maxwell traitent respectivement de la modification des champs magnétiques et de la modification des champs électriques.
Les équations de Maxwell sont:
- Loi de Gauss de l'électricité
- Loi de Gauss du magnétisme
- Loi d'induction de Faraday
- Loi d'Ampère
1. Loi de Gauss de l'électricité
Cette loi stipule que le flux électrique hors d'une surface fermée est proportionnel à la charge totale enfermée par cette surface. La loi de Gauss traite du champ électrique statique.
Considérons une charge ponctuelle positive Q. Nous savons que les lignes de flux électrique sont dirigées vers l'extérieur à partir de la charge positive.
Considérons une surface fermée avec la charge Q incluse en elle. Le vecteur d'aire est toujours choisi Normal à lui car il représente l'orientation de la surface. Soit θ l'angle fait par le vecteur champ électrique avec le vecteur aire.
Le flux électrique ψ est
La raison du choix du produit scalaire est que nous devons calculer la quantité de flux électrique qui traverse la surface représentée par un vecteur d'aire normale.
De la loi de Coulombs, on sait que le champ électrique (E) dû à une charge ponctuelle est Q / 4πε 0 r 2.
Considérant une symétrie sphérique, la forme intégrale de la loi de Gauss est:
Par conséquent, le flux électrique Ψ = Q inclus / ε 0
Ici, le Q inclus représente la somme vectorielle de toutes les charges à l'intérieur de la surface. La région entourant la charge peut être de n'importe quelle forme mais pour appliquer la loi de Gauss, nous devons sélectionner une surface gaussienne qui est symétrique et a une distribution de charge uniforme. La surface gaussienne peut être cylindrique ou sphérique ou plane.
Pour dériver sa forme différentielle, nous devons appliquer le théorème de divergence.
L'équation ci - dessus est la forme différentielle de la loi de Gauss ou Maxwell équation I.
Dans l'équation ci-dessus, ρ représente la densité de charge volumique. Lorsque nous devons appliquer la loi de Gauss à une surface avec une charge linéaire ou une distribution de charge de surface, il est plus pratique de représenter l'équation avec la densité de charge.
Par conséquent, nous pouvons déduire que la divergence d'un champ électrique sur une surface fermée donne la quantité de charge (ρ) qu'il renferme. En appliquant la divergence à un champ vectoriel, nous pouvons savoir si la surface entourée par le champ vectoriel agit comme une source ou un puits.
Considérons un cuboïde avec une charge positive comme indiqué ci-dessus. Lorsque l'on applique la divergence au champ électrique sortant de la boîte (cuboïde), le résultat de l'expression mathématique nous indique que la boîte (cuboïde) considérée agit comme une source du champ électrique calculé. Si le résultat est négatif, cela nous indique que la boîte agit comme un puits, c'est-à-dire que la boîte renferme une charge négative en elle. Si la divergence est nulle, cela signifie qu'il n'y a pas de frais.
De là, nous pourrions déduire que des monopoles électriques existent.
2. Loi de Gauss du magnétisme
Nous savons que la ligne de flux magnétique circule du pôle nord au pôle sud de l'extérieur.
Puisqu'il y a des lignes de flux magnétique dues à un aimant permanent, il y aura une densité de flux magnétique (B) associée. Lorsque nous appliquons le théorème de divergence à la surface S1, S2, S3 ou S4, nous voyons que le nombre de lignes de flux entrant et sortant de la surface sélectionnée reste le même. Par conséquent, le résultat du théorème de divergence est zéro. Même dans la surface S2 et S4, la divergence est nulle, ce qui signifie que ni le pôle nord ni le pôle sud n'agissent individuellement comme source ou puits comme les charges électriques. Même lorsque nous appliquons la divergence du champ magnétique (B) due à un fil porteur de courant, il s'avère être nul.
La forme intégrale de la loi de Gauss du magnétisme est:
La forme différentielle de la loi de Gauss du magnétisme est:
De là, on pourrait déduire que les monopôles magnétiques n'existent pas.
3. Loi d'induction de Faraday
La loi de Faraday stipule que lorsqu'il y a un changement de flux magnétique (changeant en fonction du temps) reliant une bobine ou tout conducteur, il y aura un CEM induit dans la bobine. Lenz a déclaré que l'EMF induit sera dans une direction telle qu'il s'oppose au changement de flux magnétique qui le produit.
Dans l'illustration ci-dessus, lorsqu'une plaque conductrice ou un conducteur est soumis à l'influence d'un champ magnétique variable, un courant de circulation y est induit. Le courant est induit dans une direction telle que le champ magnétique qu'il produit s'oppose au changement magnétique qui l'a créé. D'après cette illustration, il est clair que le changement ou la variation du champ magnétique crée un champ électrique circulant.
De la loi de Faraday, emf = - dϕ / dt
Nous savons que, ϕ = surface fermée ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Champ électrique E = V / d
V = ʃ E.dl
Puisque le champ électrique change par rapport à la surface (curl), il existe une différence de potentiel V.
Par conséquent, la forme intégrale de la quatrième équation de Maxwell est,
En appliquant le théorème de Stoke,
La raison de l'application du théorème de Stoke est que lorsque nous prenons une boucle d'un champ rotatif sur une surface fermée, les composantes de la boucle interne du vecteur s'annulent et cela se traduit par l'évaluation du champ vectoriel le long du chemin fermé.
Par conséquent, nous pouvons écrire cela,
La forme différentielle de l'équation de Maxwell est
D'après l'expression ci-dessus, il est clair qu'un champ magnétique changeant en fonction du temps produit un champ électrique circulant.
Remarque: en électrostatique, la boucle d'un champ électrique est nulle car elle émerge radialement vers l'extérieur de la charge et aucun composant rotatif ne lui est associé.
4. Loi d'Ampère
La loi d'Ampère stipule que lorsqu'un courant électrique traverse un fil, il produit un champ magnétique autour de lui. Mathématiquement, l'intégrale de ligne du champ magnétique autour d'une boucle fermée donne le courant total qu'elle renferme.
ʃ B .dl = μ 0 I enfermé
Puisque le champ magnétique s'enroule autour du fil, nous pouvons appliquer le théorème de Stoke à la loi d'Ampère.
Par conséquent, l'équation devient
Nous pouvons représenter le courant enfermé en termes de densité de courant J.
B = μ 0 H en utilisant cette relation, nous pouvons écrire l'expression comme
Lorsque nous appliquons la divergence à la boucle d'un champ vectoriel tournant, le résultat est nul. C'est parce que la surface fermée n'agit pas comme une source ou un puits, c'est-à-dire que le nombre de flux entrant et sortant de la surface est le même. Cela peut être représenté mathématiquement par,
Considérons un circuit comme illustré ci-dessous.
Le circuit est connecté à un condensateur. Lorsque nous appliquons la divergence dans la région S1, le résultat montre qu'elle est non nulle. En notation mathématique,
Il y a un flux de courant dans le circuit mais dans le condensateur, les charges sont transférées en raison du changement de champ électrique à travers les plaques. Donc, physiquement, le courant ne le traverse pas. Maxwell a inventé ce flux électrique changeant en tant que courant de déplacement (J D). Mais Maxwell a inventé le terme courant de déplacement (J D) en considérant la symétrie de la loi de Faraday, c'est-à-dire si un champ magnétique changeant dans le temps produit un champ électrique, alors par symétrie, le champ électrique changeant produit un champ magnétique.
La boucle d'intensité du champ magnétique (H) dans la région S1 est
La forme intégrale de la quatrième équation de Maxwell peut être exprimée comme suit:
La forme différentielle de la quatrième équation de Maxwell est:
Toutes ces quatre équations sous forme intégrale ou sous forme différentielle réunies sont appelées équation de Maxwell.